چگونه فراکتال ها می توانند توضیح دهند که چه مشکلی در وال استریت وجود دارد

یادداشت سردبیر: این داستان در ابتدا در نسخه فوریه 1999 علمی آمریکایی منتشر شد. ما با توجه به اخبار اخیر مربوط به برادران لمان و مریل لینچ ، آن را ارسال می کنیم.

سرمایه گذاران انفرادی و معامله گران سهام حرفه ای و ارزی بهتر از همیشه می دانند که قیمت های نقل شده در هر بازار مالی اغلب با سرعت متوقف کننده قلب تغییر می کنند. هنگامی که به نظر می رسد سرعت بازار سرعت می یابد و نوسانات افزایش می یابد ، ثروت ها در انفجارهای ناگهانی فعالیت می شوند و از بین می روند. به عنوان مثال ، در سپتامبر گذشته ، سهام Alcatel ، یک تولید کننده تجهیزات ارتباطات از راه دور فرانسوی ، یک روز حدود 40 درصد کاهش یافت و طی چند روز آینده 6 درصد دیگر سقوط کرد. در یک وارونگی ، سهام در روز چهارم 10 درصد افزایش یافت.

مدلهای مالی کلاسیک مورد استفاده در بیشتر این قرن پیش بینی می کنند که چنین وقایع رسوبی هرگز نباید اتفاق بیفتد. سنگ بنای مالی تئوری نمونه کارها مدرن است که سعی می کند بازده را برای یک سطح خاص از خطر به حداکثر برساند. ریاضیات اساسی تئوری نمونه کارها با بی توجهی خوش خیم ، موقعیت های شدید را به خود اختصاص می دهد: این تغییرات بزرگ در بازار را بسیار بعید به نظر می رسد یا در نظر گرفتن آن غیرممکن است. درست است که نظریه نمونه کارها ممکن است 95 درصد از زمان در بازار را به خود اختصاص دهد. اما تصویری که ارائه می دهد واقعیت را منعکس نمی کند ، اگر کسی موافقت کند که رویدادهای اصلی بخشی از 5 درصد باقی مانده است. یک قیاس غیرقابل اجتناب ، یک ملوان در دریا است. اگر هوا 95 درصد از زمان متوسط باشد ، آیا مارینر می تواند احتمال ابتلا به یک تافون را نادیده بگیرد؟

فرمول های کاهش دهنده ریسک در پشت نظریه نمونه کارها به تعدادی از محل های خواستار و در نهایت بی اساس متکی هستند. اول ، آنها پیشنهاد می کنند که تغییرات قیمت از نظر آماری مستقل از یکدیگر است: به عنوان مثال ، قیمت امروز هیچ تاثیری در تغییرات بین قیمت فعلی و فردا ندارد. در نتیجه ، پیش بینی های جنبش های آینده بازار غیرممکن می شود. پیش فرض دوم این است که تمام تغییرات قیمت در الگویی توزیع می شود که مطابق با منحنی زنگ استاندارد است. عرض شکل زنگ (همانطور که توسط سیگما آن اندازه گیری می شود ، یا انحراف استاندارد) نشان می دهد که تغییر قیمت تا چه اندازه از میانگین واگرای دارد. وقایع در افراط و تفریط بسیار نادر تلقی می شود. در واقع ، حصبها از وجود تعریف شده اند.

آیا داده های مالی به طور مرتب با چنین فرضیاتی مطابقت دارند؟البته ، آنها هرگز این کار را نمی کنند. نمودارهای سهام یا تغییر ارز با گذشت زمان ، زمینه ای ثابت از حرکات کوچک بالا و پایین قیمت را نشان می دهد - اما به همان اندازه یکنواخت نیست که انتظار داشته باشد اگر تغییر قیمت متناسب با منحنی زنگ باشد. این الگوهای ، با این حال ، تنها یک جنبه از نمودار را تشکیل می دهد. تعداد قابل توجهی از تغییرات بزرگ ناگهانی - مشخصات موجود در نمودار که مانند سهام Alcatel به سمت بالا و پایین شلیک می کنند - از پس زمینه آشفتگی های معتدل تر خارج می شوند. علاوه بر این ، بزرگی حرکات قیمت (چه بزرگ و چه کوچک) ممکن است برای یک سال تقریباً ثابت باقی بماند ، و سپس ناگهان ممکن است تغییرپذیری برای یک دوره طولانی افزایش یابد. با رشد تلاطم بازار ، پرش های قیمت بزرگ رایج تر می شوند.

بر اساس تئوری پورتفولیو، احتمال این نوسانات بزرگ چند میلیونم یک میلیونیم یک میلیونیم خواهد بود.(نوسانات بیشتر از 10 انحراف استاندارد است.) اما در واقع، فرد به طور منظم - به اندازه هر ماه - جهش ها را مشاهده می کند و احتمال آنها به چند صدم می رسد. مسلماً، منحنی زنگ اغلب به عنوان نرمال یا به طور دقیق تر، به عنوان توزیع نرمال توصیف می شود. اما آیا باید بازارهای مالی را غیرعادی توصیف کرد؟البته نه - آنها همانی هستند که هستند، و این نظریه پورتفولیو است که ناقص است.

نظریه پورتفولیو مدرن خطری برای کسانی است که به شدت به آن اعتقاد دارند و چالشی قدرتمند برای نظریه پردازان است. اگرچه گاهی اوقات خطاهای موجود در بدنه فکری کنونی را تصدیق می‌کنند، اما طرفداران آن نشان می‌دهند که هیچ پیش‌فرض دیگری از طریق مدل‌سازی ریاضی قابل مدیریت نیست. این مشاجره منجر به این سوال می شود که آیا می توان توصیف کمی دقیقی از حداقل برخی از ویژگی های تحولات مالی عمده ایجاد کرد؟پاسخ نزولی این است که نوسان‌های بزرگ بازار ناهنجاری‌هایی هستند، «اعمال خدا» فردی که هیچ نظمی قابل تصوری ندارد. رویزیونیست ها مقدمات مشکوک نظریه پورتفولیو مدرن را از طریق اصلاحات کوچکی که فاقد هر گونه اصل راهنما هستند و به اندازه کافی اوضاع را بهبود نمی بخشند، تصحیح می کنند. کار خود من - که در طی سالیان متمادی انجام شده است - موقعیت بسیار متفاوت و قطعی صعودی دارد.

من ادعا می‌کنم که تغییرات در قیمت‌های مالی را می‌توان با مدلی که از کار من در هندسه فراکتال مشتق شده است، توضیح داد. فراکتال ها - یا شرح بعدی آنها که چند فرکتال نامیده می شود - قصد ندارند آینده را با قطعیت پیش بینی کنند. اما آنها تصویر واقعی تری از ریسک های بازار ایجاد می کنند. با توجه به مشکلات اخیری که با استخرهای سرمایه گذاری بزرگی به نام صندوق های تامینی مواجه شده است، بررسی مدل هایی که تخمین های دقیق تری از ریسک را ارائه می دهند، احمقانه است.

مولتی فراکتال ها و بازار پایه ریاضی گسترده ای برای فراکتال ها و مولتی فرکتال ها وجود دارد. الگوهای فراکتال نه تنها در تغییرات قیمت اوراق بهادار، بلکه در توزیع کهکشان ها در سراسر کیهان، به شکل خطوط ساحلی و در طرح های تزئینی ایجاد شده توسط برنامه های رایانه ای بی شمار ظاهر می شوند.

فراکتال یک شکل هندسی است که می‌توان آن را به بخش‌هایی از هم تفکیک کرد که هر یک نسخه‌ای از کل در مقیاس کاهش‌یافته است. در امور مالی، این مفهوم یک انتزاع بی‌ریشه نیست، بلکه فرمول‌بندی نظری بخشی از فرهنگ عامیانه بازار است – یعنی حرکت‌های یک سهام یا ارز، زمانی که نمودار بازار بزرگ یا کاهش می‌یابد، همه شبیه به هم هستند. همان زمان و مقیاس قیمت. سپس ناظر نمی تواند بگوید کدام یک از داده ها مربوط به قیمت هایی است که از هفته به هفته، روز به روز یا ساعت به ساعت تغییر می کند. این کیفیت نمودارها را به عنوان منحنی های فراکتال تعریف می کند و بسیاری از ابزارهای قدرتمند تحلیل ریاضی و کامپیوتری را در دسترس قرار می دهد.

یک اصطلاح فنی خاص تر برای شباهت بین اجزا و کل، خود قرابت است. این ویژگی مربوط به مفهوم شناخته شده فراکتال ها به نام خود تشابه است، که در آن همه ویژگی های یک تصویر با نسبت یکسان کاهش می یابد یا منفجر می شود - فرآیندی که برای هر کسی که تا به حال سفارش بزرگنمایی عکاسی داده است آشنا است. نمودارهای بازار مالی، با این حال، به دور از شباهت هستند. در جزئیات گرافیکی که در آن ویژگی‌ها بالاتر از عریض هستند - مانند تک تک تیک‌های قیمتی یک سهم - تبدیل از کل به یک قسمت باید محور افقی را بیشتر از محور عمودی کاهش دهد.. برای نمودار قیمت، این تبدیل باید مقیاس زمانی (محور افقی) را بیشتر از مقیاس قیمت (محور عمودی) کوچک کند. به رابطه هندسی کل با اجزای آن ارتباطی از خویشاوندی گفته می شود.

وجود خواص بدون تغییر توسط اکثر آماردانان اهمیت چندانی ندارد. اما آنها محبوب فیزیکدانان و ریاضیدانانی مانند من هستند که آنها را تغییر ناپذیر می نامند و از مدل هایی که دارای ویژگی تغییر ناپذیری جذابی هستند خوشحال هستند. ایده خوبی از منظور من با رسم نمودار ساده ای ارائه می شود که تغییرات قیمت را از زمان 0 تا زمان بعدی 1 در مراحل متوالی درج می کند. خود فواصل به طور دلخواه انتخاب می شوند. آنها ممکن است یک ثانیه، یک ساعت، یک روز یا یک سال را نشان دهند.

این فرآیند با یک قیمت شروع می شود که با یک خط روند مستقیم نشان داده می شود (تصویر 1). در مرحله بعد، یک خط شکسته به نام مولد برای ایجاد الگویی که مربوط به نوسانات بالا به پایین یک قیمت در بازارهای مالی است، استفاده می شود. ژنراتور از سه قطعه تشکیل شده است که در امتداد خط روند مستقیم قرار داده شده اند.(ژنراتوری با کمتر از سه قطعه قیمتی را که می تواند بالا و پایین حرکت کند شبیه سازی نمی کند.) پس از مشخص کردن مولد اولیه، سه قطعه آن توسط سه قطعه کوتاه تر درون یابی می شوند. تکرار این مراحل شکل ژنراتور یا منحنی قیمت را بازتولید می کند، اما در مقیاس های فشرده. هر دو محور افقی (مقیاس زمانی) و محور عمودی (مقیاس قیمت) فشرده می شوند تا با مرزهای افقی و عمودی هر قطعه از ژنراتور مطابقت داشته باشند.

درون یابی برای همیشه فقط اولین مراحل در تصویر نشان داده شده است، اگرچه همین روند ادامه دارد. در تئوری، پایانی ندارد، اما در عمل، منطقی نیست که در فواصل زمانی کوتاه‌تر از فواصل بین معاملات تجاری، که ممکن است در کمتر از یک دقیقه اتفاق بیفتد، قرار گیریم. واضح است که هر قطعه به شکلی تقریباً شبیه کل ختم می شود. به این معنا که، تغییر ناپذیری مقیاس صرفاً به این دلیل وجود دارد که در آن ساخته شده است. تازگی (و شگفت‌انگیز) این است که این منحنی‌های فراکتال خودوابسته، ساختار فراوانی را نشان می‌دهند - پایه‌ای هم از هندسه فراکتال و هم نظریه آشوب.

چند ژنراتور منتخب منحنی‌های به‌اصطلاح یونفرکتال را ایجاد می‌کنند که تصویر نسبتاً آرامی از بازار را نشان می‌دهند که توسط نظریه پورتفولیو مدرن احاطه شده است. اما آرامش فقط در شرایط فوق العاده خاص حاکم است که فقط توسط این ژنراتورهای خاص ارضا می شود. مفروضات پشت این مدل بیش از حد ساده شده یکی از اشتباهات اصلی نظریه پورتفولیو مدرن است. این بسیار شبیه تئوری امواج دریا است که طوفان آنها را بیش از شش فوت ممنوع می کند.

زیبایی هندسه فراکتال در این است که یک مدل کلی را به اندازه کافی برای بازتولید الگوهایی که بازارهای آرام تئوری پورتفولیو و همچنین شرایط معاملات پرتلاطم ماه‌های اخیر را مشخص می‌کنند، ممکن می‌سازد. روشی که اخیراً برای ایجاد یک مدل قیمت فراکتال توضیح داده شد را می توان تغییر داد تا نشان دهد که چگونه فعالیت بازارها سرعت می گیرد و کاهش می یابد - جوهره نوسان. این تنوع دلیلی است که پیشوند "مولتی-" به کلمه "فرکتال" اضافه شده است.

برای ایجاد یک مولتی فراکتال از یک یونی فرکتال، مرحله کلیدی این است که محور زمانی افقی را طولانی یا کوتاه کنید تا قطعات ژنراتور کشیده یا فشرده شوند. در عین حال، محور عمودی قیمت ممکن است دست نخورده باقی بماند. در تصویر 2، اولین قطعه ژنراتور یونی فرکتال به تدریج کوتاه شده است، که همچنین فضایی برای طولانی شدن قطعه دوم فراهم می کند. پس از انجام این تنظیمات، ژنراتورها مولتی فراکتال می شوند (M1 تا M4). فعالیت بازار در بازه زمانی که اولین قطعه ژنراتور نشان می دهد سرعت می گیرد و در بازه ای که مربوط به قطعه دوم است کند می شود (تصویر 3).

چنین تغییری در مولد می‌تواند با استفاده از فرآیند درون‌یابی که قبلاً توضیح داده شد، یک شبیه‌سازی کامل از نوسانات قیمت در یک دوره معین ایجاد کند. هر بار که اولین قطعه ژنراتور بیشتر کوتاه می شود - و فرآیند درونیابی متوالی انجام می شود - نموداری تولید می کند که به طور فزاینده ای به ویژگی های بازارهای نوسان شباهت دارد (تصویر 4).

نمودار تک فرکتال (U) نشان داده شده در اینجا (قبل از هر گونه کوتاهی) با بازارهای متزلزل فرض شده در مدل نظریه پردازان پورتفولیو مطابقت دارد. با حرکت به سمت پایین پشته (M1 تا M4)، هر نمودار بیشتر از آن مدل فاصله می‌گیرد و جهش‌های شدید قیمت و حرکات دائمی بزرگی را نشان می‌دهد که شبیه معاملات اخیر است. برای اینکه این مدل‌های بازارهای بی‌ثبات به واقع‌گرایی لازم دست یابند، سه قطعه از هر ژنراتور به هم ریخته شدند - فرآیندی که در تصاویر نشان داده نشده است. این کار به شرح زیر است: یک قالب را تصور کنید که در هر طرف تصویر یکی از شش جایگشت قطعات ژنراتور وجود دارد. قبل از هر درون یابی، قالب پرتاب می شود و سپس جایگشتی که بالا می آید انتخاب می شود.

یک خزانه‌دار شرکتی، معامله‌گر ارز یا دیگر استراتژیست‌های بازار از همه این‌ها چه نتیجه‌ای باید بگیرد؟تفاوت بین تصاویر ترسیم شده توسط تئوری مدرن نمونه کارها و حرکت واقعی قیمت ها آشکار است. قیمت‌ها به‌طور مداوم تغییر نمی‌کنند، و در تمام مقیاس‌های زمانی به شدت در نوسان هستند. نوسانات - به دور از یک موجودیت ثابت که نادیده گرفته شود یا به راحتی جبران شود - در قلب آنچه در بازارهای مالی می گذرد است. در گذشته، مدیران پول تداوم و تحرکات قیمتی محدود نظریه پرتفوی مدرن را به دلیل عدم وجود جایگزین های قوی پذیرفتند. اما یک مدیر پول دیگر نیازی به پذیرش مدل های مالی فعلی به ارزش اسمی ندارد.

در عوض می‌توان چندفراکتال‌ها را برای «آزمون استرس» یک نمونه کار به کار گرفت. در این تکنیک، قوانین زیربنایی مولتی فراکتال‌ها تلاش می‌کنند تا همان الگوهای تغییرپذیری را ایجاد کنند که قوانین ناشناخته حاکم بر بازارهای واقعی است. مولتی فراکتال ها رابطه بین شکل مولد و الگوهای نوسانات بالا و پایین قیمت ها را که در نمودارهای داده های واقعی بازار یافت می شوند، به دقت توصیف می کنند.

در یک سطح عملی ، این یافته نشان می دهد که می توان یک ژنراتور فراکتال را بر اساس داده های بازار تاریخی توسعه داد. مدل واقعی مورد استفاده به سادگی آنچه را که بازار دیروز یا هفته گذشته انجام داده است ، بازرسی نمی کند. این در واقع تصویری واقع بینانه تر از نوسانات بازار است که در زمان معاملات چند منظوره به نام حرکت قهوه ای کسری نامیده می شود. نمودارهای ایجاد شده از ژنراتورهای تولید شده توسط این مدل می توانند سناریوهای جایگزین را بر اساس فعالیت قبلی بازار شبیه سازی کنند.

این تکنیک ها بر اساس سوابق گذشته به پیش بینی افت قیمت یا افزایش در یک روز خاص نزدیک نمی شوند. اما آنها تخمین هایی از احتمال آنچه بازار ممکن است انجام دهد ارائه می دهد و به فرد اجازه می دهد تا برای تغییرات اجتناب ناپذیر دریا آماده شود. تکنیک های مدل سازی جدید به گونه ای طراحی شده اند که نور نظم را به ضخامت به ظاهر غیرقابل نفوذ در بازارهای مالی ریخته اند. آنها همچنین هشدار مارینر را تشخیص می دهند که ، همانطور که وقایع اخیر نشان می دهد ، سزاوار توجه است: حتی در آرام ترین دریا ، یک گیل ممکن است دقیقاً بیش از افق باشد.

درباره نویسنده (ها)

Benoit B. Mandelbrot در زمینه های بیشمار علوم و هنر نقش داشته است. یک ریاضیدان با آموزش ، وی از سال 1987 به عنوان استاد آبراهام رابینسون استاد علوم ریاضی در دانشگاه ییل و IBM همکار (فیزیک) در مرکز تحقیقات توماس جی واتسون در یورک تاون هایتز ، نیویورک ، جایی که از 1958 تا 1993 کار می کرد ، خدمت کرده است. عضو آکادمی هنر و علوم آمریکا و همکار خارجی آکادمی ملی علوم ایالات متحده و آکادمی نروژ است. جوایز وی شامل جوایز گرگ برای فیزیک ، مدال های بارنارد ، فرانکلین و استینمتز و جوایز علوم هنر ، هاروی ، هومبولت و هوندا است.