یک رویکرد کنترل تصادفی منفرد برای معاملات جفت بهینه با هزینه های معاملاتی متناسب

استراتژی‌های معاملاتی بهینه برای معاملات جفتی توسط مدل‌هایی مورد مطالعه قرار گرفته‌اند که سعی می‌کنند یا سهام بهینه سهام را با فرض عدم هزینه‌های معامله یا زمان‌بندی بهینه معامله تعداد ثابت سهام با هزینه‌های مبادله پیدا کنند. برای یافتن استراتژی‌های بهینه که هم زمان معامله و هم تعداد سهام را در یک فرآیند معاملاتی جفتی به‌طور بهینه تعیین می‌کند، از یک رویکرد کنترل تصادفی منفرد برای مطالعه یک مشکل معاملاتی جفت بهینه با هزینه‌های معامله متناسب استفاده می‌کنیم. با فرض یک رابطه یکپارچه برای یک جفت قیمت ثبت سهام، ما یک مسئله بهینه سازی سبد را در نظر می گیریم که شامل استراتژی های معاملاتی پویا با هزینه های معامله متناسب است. ما نشان می‌دهیم که تابع مقدار مسئله کنترل، راه‌حل ویسکوزیته منحصربه‌فرد یک نابرابری شبه متغیری غیرخطی است که معادل یک مسئله مرز آزاد برای تابع مقدار کنترل تصادفی منفرد است. سپس یک الگوریتم برنامه‌نویسی پویا زمانی گسسته برای محاسبه مناطق تراکنش ایجاد می‌کنیم و همگرایی طرح گسسته‌سازی را نشان می‌دهیم. ما رویکرد خود را با مثال‌های عددی نشان می‌دهیم و تأثیر پارامترهای مختلف بر مناطق تراکنش را مورد بحث قرار می‌دهیم. ما عملکرد خارج از نمونه را در یک مطالعه تجربی که شامل شش جفت سهام ایالات متحده است که از بخش‌های مختلف صنعت انتخاب شده‌اند، مطالعه می‌کنیم و کارایی استراتژی بهینه را نشان می‌دهیم.

1. مقدمه

تجارت جفتی یکی از ابزارهای آربیتراژ آماری اختصاصی است که توسط بسیاری از صندوق های تامینی و بانک های سرمایه گذاری استفاده می شود. این یک استراتژی معاملاتی کوتاه مدت است که ابتدا دو سهم را شناسایی می کند که قیمت آنها در یک تعادل بلندمدت مرتبط است و سپس بر اساس انحراف موقت قیمت سهام از حالت تعادل معامله می شود. اگرچه تجارت جفتی یک استراتژی ساده و خنثی در بازار است، اما در چند دهه اخیر به طور گسترده توسط متخصصان صنعتی مورد استفاده و بحث قرار گرفته است. به بحث مفصل در Vidyamurthy (2004)، Whistler (2004)، Ehrman (2006)، Lai and Xing (2008)، و مراجع در آن مراجعه کنید.

علاوه بر تمرین گسترده خود در صنعت مالی ، معاملات جفت نیز مورد توجه محققان دانشگاهی قرار می گیرد. به عنوان مثال ، گیتو و همکاران.(2006) ریسک و بازده معاملات جفت را با استفاده از داده های روزانه جمع آوری شده از بازار سهام ایالات متحده بررسی کرد و نتیجه گرفت که این استراتژی به طور کلی سود را بالاتر از هزینه های معامله تولید می کند. برای بررسی استراتژی معاملات جفت به صورت تحلیلی ، الیوت و همکاران.(2005) گسترش بازده ها را به عنوان یک فرآیند معناداری مدل سازی کرد و یک استراتژی معاملاتی را بر اساس مدل پیشنهاد داد. این باعث می شود محققان بعدی به تدوین قوانین معاملات جفت به عنوان مشکلات کنترل تصادفی برای یک فرآیند اورنشتای ن-اولنبک (OU) و یک فرآیند قیمت همبسته سهام بپردازند. به طور خاص ، Mudchanatongsuk و همکاران.(2008) فرض کرد که رابطه ورود به سیستم بین یک جفت قیمت سهام از یک فرآیند معناداری پیروی می کند ، و یک استراتژی نمونه کارها خود را برای تأمین مالی در نظر می گیرد که فقط موقعیت هایی را که در یک سهام طولانی بوده و در دیگری با مبلغ دلار مساوی کوتاه است ، فراهم می کند. آنها سپس یک مشکل کنترل تصادفی مبتنی بر بهینه سازی نمونه کارها را تدوین کردند و راه حل بهینه را برای این مشکل کنترل در فرم بسته از طریق معادله مربوطه همیلتو ن-جکوب ی-بلمن (HJB) به دست آوردند. با آرامش محدودیت دلار برابر ، Tourin and Yan (2013) گسترش Mudchanatongsuk و همکاران.(2008) رویکرد و مطالعه استراتژی های معاملات جفت با مبلغ دلخواه در هر سهام و بدون هیچ گونه هزینه معاملات.

به جای به دست آوردن وزن بهینه سهام در معاملات جفت ، یکی دیگر از مطالعه در مورد استراتژی های معاملات جفت ، تعداد سهام معامله شده برای هر سهام را در کل فرآیند معاملات برطرف می کند و فقط زمان بهینه معاملات را در حضور هزینه های معامله ثابت یا متناسب در نظر می گیرد. وادبه طور خاص ، Leung and Li (2015) زمان بهینه را برای باز یا بستن موقعیت مشروط به هزینه های معامله ثابت و تأثیر سطح از دست دادن در فرآیند OU با ساخت مستقیم عملکرد ارزش مطالعه می کند. ژانگ و ژانگ (2008) ، سونگ و ژانگ (2013) ، و سازمان های غیردولتی و فام (2016) قانون معاملات بهینه جفت را که مبتنی بر تعویض بهینه در بین دو (خرید و فروش) یا سه (خرید ، فروش و مسطح) است ، مطالعه کردند. رژیم هایی با هزینه کمیسیون ثابت برای هر معامله ، و با یافتن راه حل های ویسکوزیته به معادلات HJB مرتبط (نابرابری های شبه واریته) مشکل را حل می کنند. لی و Xu (2015) قانون معاملات بهینه زوج ها را برای ورود و خروج از بازار دارایی در افق محدود با هزینه معامله متناسب برای دو دارایی همگرا مورد مطالعه قرار دادند. توجه داشته باشید که ، اگرچه هزینه های معاملات در این استراتژی ها در نظر گرفته شده است ، زیرا تعداد سهام معامله شده سهام در کل دوره معاملاتی ثابت است ، اما این استراتژی ها هنوز از تجربه عملی معامله گران در واقعیت دور هستند.

مطالعه فوق در مورد معاملات جفت بهینه یا بر سهام معاملات بهینه بدون هزینه معاملات یا زمان معاملات بهینه با سهام معاملاتی ثابت در حضور هزینه های معامله متمرکز است. برای آرامش فرض سهام معاملاتی ثابت در مطالعه دوم ، این مقاله از یک رویکرد کنترل تصادفی منحصر به فرد برای مطالعه تأثیر مشترک سهام معاملات بهینه و زمان معاملات بهینه در فرآیند معاملات جفت با هزینه های متناسب معاملات استفاده می کند. برای راحتی ، ما همان انتشار و فرآیندهای Urnstei n-Uhlenbeck را برای یک سهام و گسترش آن با سهام دیگر به عنوان موارد موجود در Mudchanatongsuk و همکاران فرض می کنیم.(2008). با این حال ، متفاوت از Mudchanatongsuk و همکاران.(2008) که از یک قانون معاملاتی استفاده می کرد که نیاز به یک سهام کوتاه و طولانی دیگر در مبلغ دلار مساوی دارد ، ما یک قانون خنثی دلتا را در نظر می گیریم که براساس آن نسبت سهام معامله شده برای دو سهام ثابت است و این نسبت ثابت توسط آن تعیین می شودرابطه همبستگی دو سهام. از این رو ، هنگامی که تعداد سهام یک سهام بر اساس قانون Delta Neutral مشخص شود ، تعداد سهام برای سهام دیگر نیز تعیین می شود. علاوه بر این ، وزن سهام باید بهینه انتخاب شود ، ما همچنین هزینه معامله متناسب را برای هر تجارت فرض می کنیم و از این رو باید زمان بهینه تجارت نیز تصمیم گیری شود.

با فرضیات فوق ، ما مشکل معاملات بهینه جفت را با رویکرد کنترل تصادفی مفرد در دیویس و همکاران حل می کنیم.(1993). از آنجا که هزینه معاملات کلی بر اساس فرض فوق به زمان معاملات و تعداد سهام در هر تجارت بستگی دارد ، ما ابزار ترمینال ثروت را در یک افق ثابت محاسبه می کنیم و مشکل انتخاب زمان معاملات بهینه و تعداد سهام را تشکیل می دهیمیک مشکل کنترل تصادفی مفرد. ما برای این مشکل معادلات همیلتون-ژاکوبی-بلمن را استخراج می کنیم و نشان می دهیم که عملکرد ارزش مسئله راه حل ویسکوزیته منحصر به فرد نابرابری شبه واریزی است. ما همچنین استدلال می کنیم که نابرابری شبه واریزی معادل یک مشکل مرزی آزاد است به طوری که فضای دولتی متشکل از یک قیمت سهام و گسترش آن با سهام دیگر می تواند به طور طبیعی به سه منطقه معامله تقسیم شود: سهام طولانی و کوتاه دوم دوم، کوتاه اول و طولانی دوم و بدون معامله. مناطق تراکنش ضمنی می توانند به ما کمک کنند نه تنها زمان بهینه هر معامله بلکه تعداد بهینه سهام در هر معامله را نیز تعیین کنیم. برای محاسبه مرزهای این مناطق معامله ، ما یک الگوریتم عددی ایجاد می کنیم که مبتنی بر برنامه نویسی پویا زمان گسسته برای حل معادله برای عملکرد ابزار نمایی منفی است ، و نشان می دهد که راه حل عددی به راه حل منحصر به فرد زمان مداوم مسئله همگرا می شودواد

برای نشان دادن مزیت توجه مشترک سهام بهینه و زمان معاملات بهینه در تجارت جفت ، ما هم شبیه سازی و هم مطالعات تجربی را انجام می دهیم. به طور خاص ، ما مناطق معامله متغیر زمان (یا مرزهای معاملاتی) را برای مجموعه خاصی از پارامترهای مدل مطالعه می کنیم و تأثیر تغییرات پارامترهای مدل در مناطق معامله و عملکرد استراتژی بهینه را بررسی می کنیم. برای اهداف مقایسه ، ما همچنین یک استراتژی معیار را بر اساس انحراف گسترش از میانگین بلند مدت آن در نظر می گیریم و در بین پزشکان محبوب است. در هر دو مطالعه شبیه سازی و تجزیه و تحلیل داده های واقعی ، ما نشان می دهیم که استراتژی بهینه تجارت بهتر از استراتژی معیار است.

بقیه مقاله به شرح زیر سازماندهی شده است. بخش 2 ابتدا مدل را تدوین می کند و سپس معادلات همیلتو ن-ژاکوب ی-بلمن مرتبط با مشکلات کنترل تصادفی مفرد را استخراج می کند. این وجود و منحصر به فرد بودن محلول ویسکوزیته را برای نابرابری های متغیر ، که معادل مشکل بهینه سازی نمونه کارها هستند ، نشان می دهد و مشکل را به یک مشکل مرزی آزاد کاهش می دهد. بخش 2 همچنین مشکل معاملات بهینه را با توابع ابزار نمایی در نظر می گیرد. در بخش 3 ، ما مشکل مرزی آزاد را گسسته می کنیم و یک الگوریتم برنامه نویسی پویا زمان گسسته را پیشنهاد می کنیم. ما همچنین نشان می دهیم که حل مسئله گسسته شده به محلول ویسکوزیته نابرابری های تغییر یافته همگرا می شود. بخش 4 و بخش 5 مطالعات شبیه سازی و تجربی مدل و استراتژی بهینه تجارت را ارائه می دهد و عملکرد آن را با یک استراتژی تجارت معیار مقایسه می کند. برخی از اظهارات نتیجه گیری در بخش 6 آورده شده است.

2. یک مشکل معاملات جفت با هزینه های متناسب معاملات

2. 1مشخصات مدل

یک جفت دو سهام P و Q را در نظر بگیرید و بگذارید P (t) و Q (t) به ترتیب قیمت خود را در زمان t نشان دهند. ما فرض می کنیم که قیمت سهام P از یک حرکت هندسی براونیان پیروی می کند ،

در جایی که μ و σ رانش هستند و نوسانات سهام P و B (T) یک حرکت استاندارد براون است که در یک فضای احتمال فیلتر تعریف شده و بعداً مشخص شده است. X (t) تفاوت لگاریتم های دو قیمت سهام را نشان دهید ، یعنی ،

where κ >0 سرعت میانگین وارونگی است و θ سطح تعادل بلند مدت است که گسترش به آن برمی گردد. ما فرض می کنیم که (b (t) ، w (t)) یک حرکت دو بعدی براون است که بر روی یک فضای احتمال فیلتر شده (ω ، f t ، p) تعریف شده است ، و ضریب همبستگی آنی بین b (t) و w (t)) ρ ، یعنی ،

فرضیات فوق با مواردی است که در Mudchanatongsuk و همکاران وجود دارد.(2008). با این فرضیات ، می توانیم پویایی Q (t) را بیان کنیم

d q (t) = μ + κ (θ - x (t)) + 1 2 ν 2 + ρ σ ν q (t) d t + σ q (t) d b (t) + ν q (t) d w (t).

در صورت وجود هزینه های متناسب معاملات ، سرمایه گذار 0 را پرداخت می کند< ζ p , ζ q < 1 and 0 < η p , η q < 1 of the dollar value transacted on purchase and sale of the underlying stocks P and Q . Denote L p ( t ) and M p ( t ) two nondecreasing and non-anticipating processes and represent the cumulative number of shares of stock P bought or sold, respectively, within the time interval [ 0 , t ] , 0 ≤ t ≤ T . Let y p ( t ) be the number of shares held in stock P , i.e., y p ( t ) = L p ( t ) − M p ( t ) , and similarly, we define L q ( t ) , M q ( t ) , and y q ( t ) = L q ( t ) − M q ( t ) for stock Q . Denote g ( t ) the dollar value of the investment in bond which pays a fixed risk-free rate of r . Then, the investor’s position in two stocks and the bond is driven by

d g (t) = r g (t) d t + b p p (t) d m p (t) - a q q (t) d l q (t) + b q q (t) d m q (t) - a p p (t) d lP (t) ،

سپس برای تعیین تعداد سهام سهام P و Q خریداری شده یا فروخته شده در زمان t باید یک قانون انتخاب کنیم. توجه داشته باشید که ، Mudchanatongsuk و همکاران.(2008) هیچ هزینه معامله را در نظر گرفت و استراتژی را در نظر گرفت که همیشه یک سهام را کوتاه می کند و دیگری را به مبلغ دلار مساوی ، یعنی P (t) D L P (T) + Q (T) D M Q (T) = 0 می رساند. یا P (T) D M P (T) + Q (T) D L Q (T) = 0 در زمان t. لی و Xu (2015) و سازمان های غیر دولتی و Pham (2016) یک استراتژی خنثی دلتا را در نظر گرفتند که همیشه یک سهم از سهام و سهم کوتاه از سهام دیگر ، یعنی d y p (t) =-d y q (t) = 1یا d y p (t) = - d y q (t) = - 1 در زمان t. در اینجا ، ما همچنین یک استراتژی خنثی دلتا را در نظر می گیریم که به کل دلتای مثبت و منفی دو دارایی صفر است ، از این رو نشان می دهد که تعداد سهام سهام P خریداری شده (یا فروخته شده) در زمان t همان تعداد استسهام سهام Q فروخته شده (یا خریداری شده) ، یعنی ،

در هر زمان tبا مقایسه با Lei و Xu (2015) و سازمان های غیر دولتی و Pham (2016) ، ما محدودیت d y p (t) = - d y q (t) = 1 یا - 1 را حذف می کنیم و اجازه می دهیم y p (t) = - y q (t) یک باشدمتغیر کنترل. با استفاده از معادلات (5) و (8) ، پویایی G (t) در معادله (7) می تواند به صورت ساده باشد

d g (t) = r g (t) d t - a p - b q e x (t) p (t) d l p (t) + b p - a q e x (t) p (t) d m p (t).

فرایند (L P (T) ، M P (T)) به همراه استراتژی خنثی دلتا ما یک استراتژی معاملاتی قابل قبول را برای ما فراهم می کند. برای راحتی ، ما مجموعه ای از استراتژی های معاملاتی قابل قبول را که یک سرمایه گذار در زمان صفر با مبلغ G 0 سرمایه گذاری در اوراق قرضه و صفر در دو سهام شروع می کند ، نشان می دهیم (به عنوان مثال ، y p (0) = y q (0)= 0) ، که نشان می دهد تعداد سهام موجود در سهام P و Q در زمان T به ترتیب Y P (T) و - Y P (T) است. برای راحتی نمادین ، ما از اشتراک Y P (t) استفاده می کنیم و در بحث خود y p (t) را به عنوان y (t) بیان می کنیم. سپس ، معادلات (1) ، (3) ، (6) و (9) مدل بازار را در بازه زمانی [0 ، t] تشکیل می دهند ، که یک فرآیند تصادفی (p (t) ، x (t) ، y p را توصیف می کند(t) ، g (t)) در r + × r × r × r.

ارزش ترمینال نمونه کارها را با J (x (t) ، p (t) ، y (t)) نشان دهید. توجه داشته باشید که ، طبق فرض ما ، y (t) نشان می دهد که موقعیت های سرمایه گذار در سهام P و Q به ترتیب Y (t) و - y (t) هستند ، سپس مقدار نقدینگی نمونه کارها است

j (p (t) ، x (t) ، y (t)) = a + (p (t) ، x (t)) y (t) 𝟙< y ( T ) ≥ 0 >+ a - (p (t) ، x (t)) y (t)< y ( T ) < 0 >,

علاوه بر این ، اگر سرمایه گذاری در اوراق قرضه در زمان ترمینال t g (t) باشد ، ثروت ترمینال سرمایه گذار توسط g (t) + j (p (t) ، x (t) ، y (t)) داده می شود. فرض کنید ابزار سرمایه گذار U: R ⟶ R یک عملکرد مقعر و در حال افزایش با U (0) = 0 است. ما فرض می کنیم که هدف سرمایه گذار حداکثر رساندن سود مورد انتظار ثروت ترمینال تحت مدل بازار (1) ، (3) ، (6) و (9) است

علاوه بر این ، با توجه به استراتژی های معاملاتی (L P ، M P) ، کل هزینه معاملاتی که در مورد [t ، t] انجام شده است می تواند به عنوان بیان شود

c (l p ، m p ؛ t ، t) = ∫ t t e r (t - u) a - (p (u) ، x (u)) d l p (u) - ∫ t t t e r (t - u) a + (p (u) ، x (u)) d m p (u) - j (p (t) ، x (t) ، y (t)).

2. 2معادلات همیلتون-ژاکوبی-بلمن و مشکلات مرزی رایگان

ما اکنون معادلات همیلتو ن-ژاکوب ی-بلمن (HJB) را که با مشکلات کنترل تصادفی همراه است ، برای مشکل حداکثر رساندن ابزار (11) استخراج می کنیم. یک کلاس از استراتژی های معاملاتی را در نظر بگیرید به گونه ای که L P (T) و M P (T) فرایندهای کاملاً مداوم هستند که توسط

جایی که l (u) و m (u) مثبت و به طور یکنواخت توسط ξ محدود شده اند< ∞ . Then, (1), (3), (6) and (9) provides us a system of stochastic differential equations with controlled drift, and the Bellman equation for a value function denoted by V ξ is

برای (t ، p ، x ، y ، g) ∈ [0 ، t] × r + × r × r × r ، که در آن اپراتورها L ، B و S به عنوان تعریف می شوند

l 1 ، o: = ∂ ∂ t + κ θ - x ∂ ∂ x + μ p ∂ p + r g ∂ ∂ g + 1 2 ν 2 ∂ 2 ∂ x 2 + ρ ν σ p ∂ 2 ∂ p ∂ x +1 2 σ 2 P 2 ∂ 2 ∂ P 2 ،

Note that the case L 1 , b V ξ >0 و L 1 ، S V ξ< 0 can not occur, as all value functions are increasing functions of g .

استدلال فوق نشان می دهد که مشکل بهینه سازی (11) یک مشکل مرزی آزاد است که در آن استراتژی تجارت بهینه با نابرابری ها (i) ، (ii) و (iii) برای یک عملکرد ارزش معین تعریف می شود. علاوه بر این ، فضای حالت [0 ، t] × r + × r × r × r به مناطق خرید ، فروش و بدون اقدام برای سهام P تقسیم می شود ، که با نابرابری ها (13) ، (14) و (15) مشخص می شوند)، به ترتیب. برای کافی ξ بزرگ ، فضای دولتی به یک منطقه خرید B ، یک منطقه فروش S و یک منطقه بدون معامله برای سهام P تقسیم می شود ، که به همین ترتیب منطقه فروش ، منطقه خرید و منطقه معامله ای برای سهام وجود نداردس به دلیل معادله (8). بدیهی است که مناطق خرید و فروش برای سهام P از بین می روند ، زیرا خرید و فروش همان سهام در همان زمان بهینه نیست. ما به ترتیب مرزهای بین منطقه بدون اقدامات N و مناطق خرید و فروش B و S را به ترتیب ∂ B و S نشان می دهیم.

بگذارید ξ → ∞ ، کلاس استراتژی های معاملاتی قابل قبول به T (G 0) تبدیل شود. ما می توانیم حدس بزنیم که فضای دولتی هنوز به سه منطقه تقسیم شده است ، منطقه ای برای خرید P و فروش Q ، منطقه ای از فروش P و خرید Q و یک منطقه بدون اقدام. سپس ، استراتژی بهینه معاملات نیاز به حرکت فوری به مرزهای مناطق خرید یا فروش دارد ، در صورتی که دولت در منطقه خرید B یا منطقه فروش باشد. در واقع ، ما می توانیم معادلات را بدست آوریم که هر یک از توابع ارزش باید به شرح زیر برآورده شود.

(i) در منطقه B خرید P و فروش Q ، عملکرد ارزش در طول مسیر دولت ثابت است ، که توسط استراتژی معاملات بهینه دیکته می شود ، و بنابراین ، برای Δ y ≥ 0

جایی که δ y تعداد سهام سهام P خریداری شده و سهام Q توسط سرمایه گذار است. Δ y می تواند هر مقدار مثبت باشد تا تعداد مورد نیاز برای انتقال حالت به ∂ b ، بنابراین اجازه می دهد Δ y → 0 در (16) بازده

(ب) به طور مشابه ، در منطقه S فروش P و خرید q ، عملکرد ارزش از معادله زیر برای Δ y ≥ 0 پیروی می کند

جایی که δ y تعداد سهام سهام P فروخته شده و سهام Q خریداری شده توسط سرمایه گذار است. Δ y می تواند هر مقدار مثبت باشد تا تعداد مورد نیاز برای انتقال حالت به ∂ s ، بنابراین اجازه می دهد Δ y → 0 در (18) بازده

(iii) در منطقه بدون معامله ، عملکرد ارزش از همان مجموعه معادلات به دست آمده برای کلاس استراتژی های معاملاتی کاملاً مداوم پیروی می کند ، بنابراین عملکرد ارزش توسط

و جفت نابرابری ، که در بالا در (15) نشان داده شده است ، نیز نگه داشته می شوند. توجه داشته باشید که ، به دلیل تداوم عملکرد ارزش ، اگر در منطقه بدون معامله شناخته شود ، می تواند به ترتیب در هر دو منطقه خرید و فروش به ترتیب (17) و (19) تعیین شود.

در منطقه خرید B ، L 1 ، S V< 0 , and, in the sell region S , L 1 , b V >0علاوه بر این ، از دو جفت نابرابری (13) و (14) ، ممکن است حدس بزنیم که L 1 ، O V در (20) در منطقه خرید B و منطقه فروش منفی است. بنابراین ، مجموعه فوق از معادلات را می توان به عنوان معادلات کاملاً غیرخطی تا حدی دیفرانسیل (PDE) خلاصه کرد:

برای (t ، p ، x ، y ، g) ∈ [0 ، t] × r + × r × r × r. توجه داشته باشید که بحث فوق همچنین مشکل مرزی رایگان زیر را برای عملکرد ارزش کنترل تصادفی مفرد ارائه می دهد:

L 1 ، B V = 0 در B L 1 ، S V = 0 در S L 1 ، O V = 0 در N V (T ، P ، X ، Y ، G) = U (G + J (P ، X ، Y))واد

ما بعد نشان می دهیم که عملکرد مقدار داده شده توسط (11) یک محلول ویسکوزیته محدود از نابرابری متغیر (21) در [0 ، t] × r + × r × r × r است ، و این محلول ویسکوزیته محدود محدود محدود است(21). اثبات در پیوست A آورده شده است.

تابع مقدار V (t، p، x، y، g) یک محلول ویسکوزیته محدود (21) در [0، T] × R + × R × R × R است.

فرض کنید u یک زیرمحلول ویسکوزیته نیمه پیوسته بالا محدود شده از (21) باشد، و v a محدود از زیر حلول ویسکوزیته نیمه پیوسته پایین تر از (21)، به طوری که u (T, x) ≤ v (T, x) برای همه x ∈ R + ×R× R× R. سپس u ≤ v روی [ 0 , T ] × R + × R × R × R .

2. 3. تجارت بهینه با توابع سودمند نمایی

که در آن γ پارامتر ریسک گریزی مطلق ثابت (CARA) است به طوری که - U ″ ( z ) / U ′ ( z ) = γ . برای معادله (21)، این تابع مفید می تواند بسیاری از تلاش محاسباتی را کاهش دهد و تفسیر آن آسان است. توجه داشته باشید که برای تابع مفید (23)، تعریف تابع مقدار (11) را می توان به صورت بیان کرد.

H (t، p، x، y) = inf L p (t)، M p (t) ∈ T (g 0) E exp [-γ J (p (T)، x (T)، y (T)] | p (t) = p، x (t) = x، y (t) = y = 1-V (t، p، x، y، 0).

(24) را به (21) وصل کنید و عملگرهای زیر را برای H (t , p , x , y ) در [ 0 , T ] × R + × R × R تعریف کنید،

L 2 , o H = ∂ H ∂ t + κ ( θ − x ) ∂ H ∂ x + μ p ∂ H ∂ p + 1 2 ν 2 ∂ 2 H ∂ x 2 + ρ ν σ p ∂ 2 H ∂ p ∂x + 1 2 σ 2 p 2 ∂ 2 H ∂ p 2 ,

L 2 , o H = 0 y ∈ [ Y b (t , p , x ) , Y s ( t , p , x ) ] L 2 , b H = 0 y ≤ Y b (t , p , x ) L 2, s H = 0 y ≥ Y s ( t , p , x ) H ( T , p , x , y ) = exp- γ J ( p , x , y ) .

که در آن Yb (t، p، x) و Ys (t، p، x) به ترتیب مرزهای خرید و فروش سهام P هستند. توجه داشته باشید که تابع H (t , p , x , y ) در فضای چهار بعدی [ 0 , T ] × R × R × R ارزیابی می شود. علاوه بر این، این نشان می دهد که در حالی که (t، u t، wt) در داخل منطقه بدون تراکنش است، دینامیک h (t، u، w، y) توسط حرکات استاندارد دو بعدی براونی هدایت می شود.< z t , t ≥ 0 >و< w t , t ≥ 0 >با همبستگی ρ. در مناطق خرید و فروش، از (26) نتیجه می شود که

H (t، p، x، y) = exp< − γ e r ( T − t ) A − ( p , x ) [ y − Y b ( t , p , x ) ] >H (t , p , x , Y b (t , p , x ) ) , y ≤ Y b ( t , p , x ) , H ( t , p , x , y ) = exp< − γ e r ( T − t ) A + ( p , x ) [ y − Y s ( t , p , x ) ] >H (t , p , x , Y s ( t , p , x ) ) , y ≥ Y s ( t , p , x ) .

3. گسسته سازی و یک الگوریتم عددی

حل PDE (21) یا (25) را می توان با تبدیل معادلات دیفرانسیل تصادفی (1)، (3)، (6) و (9) به زنجیره های مارکوف و سپس اعمال الگوریتم برنامه نویسی دینامیک زمان گسسته به دست آورد. حالت گسسته X = (χ، 𝕡، 𝕩، ϑ، 𝕘) است که عناصر آن زمان، قیمت سهام P، اسپرد، تعداد سهام سهام P و مقدار موجود در بانک را در یک فضای گسسته نشان می دهد. تابع مقدار که با V نشان داده شده است، در زمان نهایی با استفاده از شرایط مرزی برای توابع مقدار پیوسته در زیر فضای گسسته (𝕡، 𝕩، ϑ، 𝕘) مقدار داده می شود، و سپس با پیشروی در زمان به عقب تخمین زده می شود. با استفاده از الگوریتم زمان گسستههمانطور که در مورد زمان پیوسته، این الگوریتم برای هر دو تابع مقدار یکسان است و در زیر برای یک تابع مقدار که با V δ (χ, 𝕡, 𝕩, ϑ, 𝕘) نشان داده شده است، مشتق شده است، جایی که ρ یک پارامتر گسسته است، که بستگی بهبازه زمانی گسسته t δ . اگر t δ و وضوح ϑ - محور ϑ δ به صفر فرستاده شود، تابع مقدار گسسته فوق به زیر حلول ویسکوزیته و ابرحلول ویسکوزیته PDE همگرا می شود (21). بنابراین، تمام توابع مقدار گسسته به همتایان پیوسته خود همگرا می شوند. این به دلیل منحصر به فرد بودن محلول ویسکوزیته است.

یک پارتیشن با فاصله مساوی از بازه زمانی [0, T] را در نظر بگیرید: χ =< δ , 2 δ , … , n δ >، که در آن δ = T / n، و دو پارتیشن با فاصله مساوی از فواصل فاصله 𝕫 =< 0 , ± δ , ± 2 δ , … , >و 𝕨 =< 0 , ± δ , ± 2 δ , … , >وادشبکه 𝕡 توسط 𝕫 از طریق تحول زیر تعریف می شود ،

توجه داشته باشید که SDE (3) دلالت بر این دارد که توزیع مجانبی x (t) طبیعی است (θ ، ν 2 / (2 κ)) ، ما شبکه را تعریف می کنیم

χ i = i δ را برای i = 1 ،… ، n - 1 نشان دهید. دینامیک (1) و (3) P (t) و x (t) حاکی از چگالی انتقال زیر برای (𝕡 (χ I) ، 𝕩 (χ i)) است

𝕡 (χ I + 1) 𝕩 χ I + 1 |𝕡 (χ I) 𝕩 χ I ∼ n log 𝕡 (χ I) + (μ - 1 2 σ 2) δ (1 - δ κ) 𝕩 (χ I) + δ κ θ ، δ σ 2 ، δ ρ σ νδ ρ σ ν ، δ ν 2.

با توجه به شبکه تعریف شده در بالا ، اصل برنامه نویسی پویا زمان گسسته استناد می شود ، و طرح گسسته زیر برای PDE (21) ارائه شده است:

where ξ >0 یک ثابت واقعی است و i = 0 ،… ، n - 1. این طرح براساس این اصل است که سیاست سرمایه گذار انتخاب معامله بهینه است. ما در مرحله بعد نشان می دهیم که ، به عنوان پارامتر گسسته سازی δ → 0 ، محلول V Δ (30) به عملکرد مقدار V ، یا ، به طور معادل ، به محلول ویسکوزیته محدود منحصر به فرد (21) همگرا می شود.

محلول V Δ (30) به صورت یکنواخت به عنوان δ → 0 به محلول ویسکوزیته محدود مداوم منحصر به فرد (21) همگرا می شود.

برای تابع ابزار نمایی U (z) = 1 - Exp ( - γ Z) ، تابع مقدار V می تواند به صورت (24) بیان شود ، و طرح گسسته آن توسط

V δ (χ I ، 𝕡 (χ I) ، 𝕩 (χ I) ، ϑ ، 𝕘 (χ I)) = 1 - Exp - γ 𝕘 (χ I) E R (T - χ I) H δ (χ I ،𝕡 (χ i) ، 𝕩 (χ i) ، ϑ).

4- مطالعات شبیه سازی

4. 1مناطق خرید و فروش

ما از الگوریتم عددی پیشنهادی در بخش 2 استفاده می کنیم تا مرزهای خرید و فروش استراتژی معاملات جفت را بررسی کنیم. مطالعه ما بر دو جنبه مسئله متمرکز است. مورد اول خاصیت خرید و فروش مرزها (یا هیچ منطقه معامله) برای مجموعه مشخصی از پارامترهای مدل است و دیگری تأثیر پارامترهای مدل مختلف بر شکل خرید و فروش مرزها است. بدون از بین رفتن کلی ، ما در تمام مطالعات شبیه سازی ما افق زمانی T = 1 و P (0) = 1 را فرض می کنیم.

ابتدا یک سناریوی پایه را در نظر می گیریم. مقادیر پارامتر در سناریوی پایه عبارتند از: μ = 0. 2، σ = 0. 4، θ = 0. 1، κ = 1، ν = 0. 15، ρ = 0. 5، r = 0. 01، γ = 5 و ζ p = ζ q = ξ p = ξ. q = 0. 0005 . برای راحتی، ما تنظیم مقادیر پارامتر پایه را به عنوان سناریو 1 یا (S1) برچسب گذاری می کنیم. ما فضای حالت (t، p، x، y، g) را گسسته می کنیم و از تقریب زنجیره مارکوف توسعه یافته برای حل مسئله بهینه سازی گسسته استفاده می کنیم. شکل 1 سطوح خرید و فروش (S1) را در زمان t = 0. 05، 0. 35، 0. 65 و 0. 95 نشان می دهد. برای خواندن بهتر شکل، ما همچنین در شکل 2 و شکل 3 مرزهای خرید و فروش (S1) را با قیمت های 0. 845 = p، 1. 095، 1. 400، 2. 108، و x = 0. 023، 0. 092، 0. 1576، 0. 092، نشان می دهیم. این نقاط به گونه ای انتخاب می شوند که به ترتیب با کمیک های 24، 48، 72 و 96 درصد توزیع p (T) و توزیع مجانبی x (t) مطابقت دارند. از این ارقام به موارد زیر پی می بریم. اول، در یک زمان معین و یک سطح قیمت معین، منطقه بدون معامله با بزرگتر شدن اسپرد باریکتر می شود، و منطقه بدون معامله زمانی که اسپرد از منفی به مثبت تبدیل می شود، از منفی به مثبت حرکت می کند. برای مثال، در t = 0. 05 و p (t) = 0. 845، منطقه بدون تراکنش از [-9. 4، -8. 0] در x (t) = 0. 023 به [-4. 6، 3. 4-] در x (t) = 0. 092 تغییر می کند.، [-0. 7، 0. 2] در x (t) = 0. 157، و [3. 2، 3. 7] در x (t) = 0. 266. دوم، در یک زمان معین و یک سطح اسپرد معین، منطقه بدون تراکنش با بزرگتر شدن قیمت p (t) باریکتر می شود و زمانی که قیمت بزرگتر می شود، منطقه بدون تراکنش به سمت بالا حرکت می کند. به عنوان مثال، در t = 0. 05 و x (t) = 0. 023، منطقه بدون تراکنش از [-9. 4، -8. 0] در p (t) = 0. 845 به [-6. 8، -5. 6] در p (t) = 1. 095 تغییر می کند.، [-4. 9، -3. 9] در p (t) = 1. 400، و [-2. 7، 2. 0-] در p (t) = 2. 108. توجه داشته باشید که حرکت منطقه بدون معامله با توجه به تغییر قیمت اما با سطح اسپرد ثابت نسبتاً کوچکتر از حرکت منطقه بدون معامله است اما با سطح قیمت ثابت. سوم، وقتی زمان از 0 به 1 بیضی می شود، منطقه بدون تراکنش به سمت بالا حرکت می کند. به عنوان مثال، در سطح توزیع قیمت ثابت (p (t)، x (t)) = (1. 095، 0. 092)، فواصل بدون معامله در t = 0. 05، 0. 35، 0. 65 و 0. 95 هستند [-2. 6, 0. 6]-.، [-2. 1، 1. 2-]، [-1. 5، 0. 7-]، و [-0. 8، 0. 2--]، به ترتیب.

سپس در مورد تأثیر مقادیر پارامترهای مختلف بر مرزهای خرید و فروش (یا مناطق بدون معامله) بحث می کنیم. علاوه بر مقادیر پارامتر در (S1)، ما اکنون 18 مجموعه دیگر از مقادیر پارامتر را در نظر می گیریم که به عنوان سناریوهای 2-19 برچسب گذاری شده اند. در هر یک از سناریوهای 2-19، تمام مقادیر پارامترها مانند (S1) هستند به جز اینکه یک پارامتر به عنوان مشخصات تغییر می کند. جدول 1 را ببینید که مقادیر پارامترها را در تمام 19 سناریو خلاصه می کند. به عنوان مثال، سناریوی 2 از مقادیر پارامتر μ = 0. 1 استفاده می کند و فرض می کند که تمام پارامترهای دیگر σ , θ , κ , ν , ρ , r , γ و ζ p = ζ q = ξ p = ξ q دارای مقادیر مشابه در (S1) هستند.. ما فضای حالت (t، p، x، y، g) را گسسته می کنیم، و از تقریب زنجیره مارکوف توسعه یافته برای حل مسئله بهینه سازی گسسته برای سناریوهای 2-19 استفاده می کنیم.

برای مقایسه مرزهای خرید و فروش (یا بدون مناطق معامله) در بین سناریوهای مختلف ، ما مرزهای خرید و فروش را در طول زمان در چهار نقطه ثابت (P (1) ، x (1)) = (0. 9 ، 0. 09) ترسیم می کنیم (P(2) ، x (2)) = (0. 9 ، 0. 12) ، (p (3) ، x (3)) = (1. 5 ، 0. 09) و (p (4) ، x (4)) = (1. 5 ،به ترتیب 0. 12). شکل 4 ، شکل 5 ، شکل 6 ، شکل 7 ، شکل 8 ، شکل 9 ، شکل 10 ، شکل 11 و شکل 12 نشان دهنده تغییرات مرزهای خرید و فروش در طول زمان برای مقادیر مختلف μ ، σ ، θ ، κ ، ν ،به ترتیب ρ ، r ، γ ، ζ p (= ζ q = ξ p = ξ q). در هر شکل ، ما مرزهای خرید و فروش را برای (p (i) ، x (i)) ، i = 1 ، 2 ، 3 ، 4 در بالا سمت چپ ، بالا سمت راست ، پایین سمت چپ و پایین سمت راست ترسیم می کنیم. ما همچنین از خطوط جامد (متراکم ، نقطه) استفاده می کنیم تا مقدار پایه (مقدار کوچکتر ، مقدار بزرگتر) پارامتر را با مقایسه نشان دهیم. شکل 4 نشان می دهد که با افزایش μ ، مرزهای خرید و فروش در هر چهار نقطه به سمت پایین حرکت می کنند. شکل 5 نشان می دهد که با افزایش σ ، مرزهای خرید و فروش به سمت بالا در (P (1) ، x (1)) و (p (2) ، x (2)) حرکت می کنند ، اما در (p (3) به سمت پایین حرکت می کنند. x (3)) و (p (4) ، x (4)). شکل 6 نشان می دهد که ، با افزایش θ ، مرزهای خرید و فروش در هر چهار نقطه به سمت پایین حرکت می کنند. شکل 7 نشان می دهد که ، با افزایش κ ، مرزهای خرید و فروش به سمت پایین حرکت می کنند و بزرگی چنین حرکتی در (P (1) ، x (1)) از سه نقطه دیگر بزرگتر است. شکل 8 نشان می دهد که ، با افزایش ν ، مرزهای خرید و فروش به سمت بالا در (P (I) ، X (I)) ، I = 1 ، 2 ، 3 حرکت می کنند ، اما در (P (4) ، x (4) به سمت پایین حرکت کنید)). شکل 9 نشان می دهد که ، هنگامی که همبستگی ρ از منفی به مثبت تغییر می کند ، مرزهای خرید و فروش به سمت پایین در (p (1) ، x (1)) و (p (2) ، x (2)) حرکت می کنند ، امابه سمت بالا در (p (3) ، x (3)) و (p (4) ، x (4)) حرکت کنید. شکل 10 نشان می دهد که تغییرات نرخ بهره R تأثیر کمی در مرزهای خرید و فروش دارد. شکل 11 نشان می دهد که ، هنگامی که پارامتر ریسک ریسک γ افزایش می یابد ، مرزهای خرید و فروش به سمت بالا در (p (i) ، x (i)) ، i = 1 ، 2 ، 3 حرکت می کنند ، اما به سمت پایین حرکت می کنند (p (4)، x (4)). شکل 12 نشان می دهد که ، با افزایش هزینه معامله ، به نظر می رسد مرکز منطقه بدون معامله تغییر نمی کند ، اما منطقه گسترده تر می شود.

4. 2عملکرد استراتژی

ما همچنین مطالعات شبیه سازی را برای بررسی عملکرد استراتژی بهینه تجارت انجام می دهیم. برای هدف مقایسه ، ما همچنین یک استراتژی معیار را در نظر می گیریم که مشابه استراتژی داوری با ارزش نسبی است که در گیتو و همکاران استفاده می شود.(2006) و بر اساس انحراف استاندارد از گسترش. به طور خاص ، این استراتژی موقعیتی را باز می کند که گسترش بیش از دو برابر انحراف استاندارد فرآیند گسترش باشد و وقتی قیمت همگرا یا بلوغ می شود ، موقعیت را بسته می کند. از آنجا که استراتژی معیار تعداد سهام سهام که باید خریداری یا فروخته شود را مشخص نمی کند ، فرض می کنیم که تعداد سهام سهام معامله شده هر بار یکی است.

ما فرآیند قیمت P T و فرآیند گسترش X T را شبیه سازی می کنیم تا عملکرد استراتژی معیار و استراتژی خود را در سناریوها (S1) مقایسه کنیم - (S19). فرض کنید که t = 1 ، و ما فاصله زمانی (0 ، 1] را به عنوان گسسته می کنیم< 0.01 , 0.02 , … , 0.99 , 1 >، به طوری که ما 100 دوره معاملاتی داریم. برای هر سناریو ، ما 1000 مسیر از< ( p t , x t ) | t = 0 , 0.01 , … , 0.99 , 1 , p 0 = 1 >و برای هر مسیر شبیه سازی شده (pt, xt)، استراتژی معیار و استراتژی بهینه را در t = 0. 01، 0. 02، …، 0. 99 پیاده سازی می کنیم و موقعیت را در T = 1 می بندیم. بگذارید i = b , o به ترتیب معیار و استراتژی های بهینه را نشان دهند. برای هر استراتژی معاملاتی تحقق یافته، N (i) را به عنوان تعداد معاملات (یعنی خرید و فروش) در بین 100 دوره معاملاتی و P L (i) = - C (i) (L p, M p؛ 0, 1) نشان دهید. کل سود حاصل از فرآیند معاملات. توجه داشته باشید که استراتژی معیار هر بار فقط یک سهم از سهام را معامله می کند در حالی که تعداد سهام در استراتژی بهینه بر اساس مناطق خرید و فروش "بهینه" انتخاب شده است، ما P S (i) را به عنوان میانگین سود تعریف می کنیم (یازیان) حاصل از حداکثر تعداد سهام سهام در طول فرآیند معاملات. یعنی P S ( i ) : = − C ( i ) ( L p , M p ; 0 , 1 ) / max t |Y t ( i ) |، که در آن Y t (i) تعداد سهام P در t = 0. 01، 0. 02، …، 0. 99 است.

جدول 2 میانگین و خطای استاندارد N (i)، P L (i) و P S (i) (i = o، b) را برای 1000 مسیر در هر سناریو خلاصه می کند. ما توجه می کنیم که تعداد کل معاملات N (o) در استراتژی بهینه از 45. 736 تا 55. 821 برای (S1) - (S17) متغیر است، و زمانی که هزینه های تراکنش در (S18) کاهش (یا افزایش) می یابد، به طور قابل توجهی افزایش می یابد (یا کاهش می یابد). و (S19). در مقایسه با این، تعداد کل معاملات N (b) در استراتژی معیار بسیار کوچکتر است، اساساً بین 1 و 2. این نشان می دهد که استراتژی معیار بسیار محافظه کارانه تر از استراتژی بهینه است. برای سود محقق شده در طول دوره معاملات، P L (o) بسیار بزرگتر از P L (b) است زیرا استراتژی بهینه می تواند خرید یا فروش تعداد "بهینه" سهام جفت سهام را انتخاب کند، در حالی که استراتژی معیار فقط خرید یا فروش است. یک سهم جفت سهامP S (o) و P S (b) تأثیر تعداد سهام سهام معامله شده را حذف می کنند و میانگین سود هر سهام معامله شده را ارائه می دهند و متوجه می شویم که P S (o) همچنان به طور قابل توجهی بالاتر از P S (b) است.

5. مطالعات داده های واقعی

ما مدل خود را با داده های واقعی بازار در این بخش آزمایش می کنیم. ابتدا نمونه را ارائه می کنیم و روش شناسی خود را توضیح می دهیم و سپس نتایج و بحث را نشان می دهیم.

یکی از گام‌های کلیدی اجرای استراتژی معاملات جفتی، انتخاب دو سهم برای معاملات جفتی است. گاتو و همکاران(2006) نشان می دهد که چگونه می توان این کار را با استفاده از داده های قیمت سهام انجام داد. جایگزینی برای این رویکرد استفاده از تحلیل فاندامنتال برای انتخاب دو سهمی است که دارای ریسک فاکتورهای تقریباً یکسانی هستند. به Vidyamurthy (2004) مراجعه کنید. در این مطالعه ترکیبی از این دو رویکرد را در نظر می گیریم. به طور خاص، ما دو سهام P و Q را محدود می‌کنیم که به یک بخش صنعت تعلق داشته باشند. جدول 3 شش جفت سهام انتخاب شده از چهار بخش مختلف را فهرست می کند. برای هر جفت سهام P و Q، ما اسپرد را با رگرسیون log قیمت سهام Q بر روی لگاریتم قیمت سهام P محاسبه می کنیم و مقادیر برازش رگرسیون به عنوان قیمت "تبدیل شده" P در نظر گرفته می شود. شکل 13 شش جفت از قیمت های اولیه Q و قیمت های تبدیل شده P را در طول زمان نشان می دهد.

سپس استراتژی بهینه و استراتژی معیار در بخش 4. 2 را برای آزمایش عملکرد خارج از نمونه اعمال می‌کنیم. به طور خاص، ما از سه سال گذشته داده‌های تاریخی هر جفت برای تخمین پارامتر مدل استفاده می‌کنیم و یک آزمون ریشه واحد را اجرا می‌کنیم تا نتیجه بگیریم که آیا گسترش xt یک فرآیند ثابت است یا خیر. اگر x t ثابت نباشد، ما هیچ استراتژی را اجرا نمی کنیم. در غیر این صورت، هم استراتژی بهینه و هم استراتژی معیار را اجرا می کنیم. توجه داشته باشید که استراتژی بهینه می تواند به طور بهینه تعداد سهام در هر معامله را انتخاب کند، در حالی که ما همچنان یک واحد سهام را در استراتژی معیار معامله می کنیم. جدول 4 تعداد معاملات N (i)، سود انباشته (به دلار آمریکا) در سررسید PL (i) و میانگین سود هر سهم معامله شده P S (i) را در دو دوره آزمایشی برای i = o (بهینه) نشان می دهد. استراتژی) و i = b (استراتژی معیار). جدول 4 نشان می دهد که استراتژی معیار بسیار محافظه کارانه تر از استراتژی بهینه است. علاوه بر این، میانگین سود هر سهم معامله شده P S (o) استراتژی بهینه بسیار بزرگتر از استراتژی معیار است به جز جفت سهام (KO، P E P).

6. نکته پایانی

مسئله تجارت جفت بهینه توسط بسیاری از محققان دانشگاهی و دست اندرکاران مالی مورد مطالعه قرار گرفته است. مدل‌ها و روش‌های موجود سعی می‌کنند یا با فرض عدم هزینه‌های مبادله، سهام بهینه سهام را بیابند یا زمان بهینه معامله تعداد ثابت سهام با هزینه‌های مبادله را بیابند. برخلاف این تحلیل‌ها، این مقاله به بررسی اثر مشترک سهام بهینه و زمان معاملات بهینه در فرآیند معاملات جفتی با هزینه‌های معاملاتی متناسب می‌پردازد. با این فرض که هدف سرمایه گذار به حداکثر رساندن مطلوبیت مورد انتظار ثروت پایانه است، مسئله تجارت جفت بهینه را می توان به عنوان یک مسئله کنترل تصادفی منفرد نوشت و با رویکرد دیویس و همکاران حل کرد.(1993). سپس مزیت در نظر گرفتن مشترک سهام بهینه و زمان معاملات بهینه در معاملات جفتی را از طریق شبیه‌سازی و مطالعات تجربی نشان می‌دهیم.

مسائل زیر ممکن است نیاز به بررسی بیشتر داشته باشد تا این مطالعه کاربردی تر شود. اول، رویکرد ما را می توان به راحتی برای توابع سودمند غیرنمایی گسترش داد. در چنین حالتی، مسئله بهینه سازی شامل پنج (به جای چهار) متغیر است و الگوریتم عددی در مقاله ما باید برای انطباق با پنج متغیر اصلاح شود. دوم، رویکرد ما را می‌توان برای حل تجارت هم‌ادغام بهینه، که شامل n سهام با رابطه هم‌ادغام m است، گسترش داد. سوم، بسیاری از مطالعات تجربی نشان می‌دهند که فرآیندهای قیمت سهام را می‌توان با ترکیب جهش‌ها بهتر تقریب زد. با استفاده از چارچوب و الگوریتم های توسعه یافته در Xing و همکاران.(2017)، روش توسعه یافته در اینجا را می توان به این مورد تعمیم داد که فرآیندهای قیمت از فرآیندهای پرش- انتشار هندسی پیروی می کنند. در چنین حالتی، تابع مقدار نابرابری های متغیر مربوطه شامل معادلات انتگرو دیفرانسیل است که می توان با گسترش الگوریتم عددی ما آن را حل کرد.